Question

已知函數f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)圖象經過點A（

π

2

，1）．當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）由y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數圖象過點A（

π

2

，1），可得a+b=1，再由當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1，可得

2

b+a=2

2

-1，聯立方程組求得a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）根據y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵函數圖象過點A（

π

2

，1），可得a+b=1．①…（3分）
∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)的最大值為2

2

-1．∴

2

b+a=2

2

-1，②…（6分）
聯立①②得   

a=-1 b=2

，
∴f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1．…（9分）
（Ⅱ）①把y=sinx圖象向左平移

π

4

個單位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象，…（11分）
②再把f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象上所有點的縱坐標變為原來的2

2

倍，橫坐標不變，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象，…（14分）
③最后把f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象向下平移一個單位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的圖象．     …（16分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．