Question

設S_n是數列{a_n}（n∈N^*）的前n項和，已知a₁=4，an+1=Sn+3n，設bn=Sn-3n．
（Ⅰ）證明：數列{b_n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=2log2bn-

n

bn

+2，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=S_n+3ⁿ可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），從而得到b_n+1=2b_n，于是有：數列{b_n}是等比數列，可求得b₁=1，從而可求得數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=2log₂b_n-

n

bn

+2=2n-

n

2n-1

，設M=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…①則

1

2

M=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…②，利用錯位相減法即可求得數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：證明：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ
即S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2S_n+3ⁿ-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∴b_n+1=2b_n…（4分）
又b₁=S₁-3=a₁-3=1，
∴{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列，
故數列{b_n}的通項公式為b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c_n=2log₂b_n-

n

bn

+2=2n-

n

2n-1

…（8分）
設M=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…①
則

1

2

M=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…②
①-②得：

1

2

M=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
∴M=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

，
∴T_n=n（n+1）+

2+n

2n-1

-4…（12分）

點評：本題考查數列的求和，考查等比數列的通項公式，突出考查了錯位相減法，考查分析與轉化的能力，屬于中檔題．