Question

已知函數為常數)是實數集上的奇函數,函數，使在區間上是減函數的的取值的集合為.

(Ⅰ)求實數的值;

(Ⅱ) 對及，恒成立,求實數的最大值;

(Ⅲ)若關于的方程有且只有一個實數根,求的值.

Answer 1

解:(Ⅰ)是實數集上奇函數,

,即 .

將帶入,顯然為奇函數    …………………………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

要使是區間上的減函數,則有在恒成立,,所以                ………………………………5分

要使在上恒成立,

只需在時恒成立即可.

(其中)恒成立即可  

令,則即

,所以實數的最大值為        ………………………………8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程,即,

令 ，

當時,在上為增函數;

當時,在上為減函數;

當時,        ……………………………………………………11分

而

當時是減函數,當時,是增函數,

當時,     ……………………………………………13分

只有當,即時,方程有且只有一個實數根。  ……………14分