Question

如圖所示，一動圓與圓x²+y²+6x+5=0外切，同時與圓x²+y²-6x-91=0內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線．

Answer 1

分析：利用兩圓的位置關系一相切這一性質得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關系，再從關系分析滿足何種關系的定義．

解答：解：（方法一）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，設已知圓的加以分別為O₁、O₂，
將圓的方程分別配方得：（x+3）²+y²=4，（x-3）²+y²=100，
當動圓與圓O₁相外切時，有|O₁M|=R+2…①
當動圓與圓O₂相內切時，有|O₂M|=10-R…②
將①②兩式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴動圓圓心M（x，y）到點O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距離和是常數12，
所以點M的軌跡是焦點為點O₁（-3，0）、O₂（3，0），長軸長等于12的橢圓．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1，軌跡為橢圓．
（方法二）：由方法一可得方程

(x+3)2+y2

+

(x-3)2+y2

=12，移項再兩邊分別平方得：2

(x+3)2+y2

=12+x
兩邊再平方得：3x²+4y²-108=0，整理得

x2

36

+

y2

27

=1
所以圓心軌跡方程為

x2

36

+

y2

27

=1，軌跡為橢圓．

點評：本題以兩圓的位置關系為載體，考查橢圓的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是橢圓是關鍵．