Question

如圖所示，已知A（-1，0），B（1，0），直線l垂直AB于A點，P為l上一動點，點N為線段BP上一點，且滿足=2，點M滿足

＝λ (λ＞0),·=0．

（1）求動點M的軌跡方程C；

（2）在上述曲線內是否存在一點Q，若過點Q的直線與曲線C交于兩點E、F，使得以EF為直徑的圓都與l相切?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：由=2知點N為BP中點，

由=λ(λ＞0),知∥且點M與B位于l同側.   

因為·=0,所以⊥.

由此知MN為線段BP的垂直平分線，所以應有｜MB｜=｜MP｜.             

由拋物線定義知點M的軌跡為拋物線，點B為焦點，直線l為準線，

（1）因為A(-1,0)，B(1,0)，所以l:x=-1.

拋物線方程為y²=4x,即為點M的軌跡方程.                                  

（2）存在點Q，即為焦點B(1,0).                                          

證明如下：設EF為拋物線的焦點弦，設其中點為H，分別由E、H、F向l作垂線，垂足分別為R、S、T.

由梯形的中位線知：

｜HS｜=(｜ER｜+｜FT｜)=(｜EB｜+｜FB｜)=｜EF｜,                  

即以EF為直徑的圓的圓心到直線l的距離等于半徑.

所以以EF為直徑的圓必與直線l相切.

所以存在點Q,其坐標為(1,0).