Question

已知直線l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求證：不論實數a取何值，直線l總經過一定點．
（2）若直線l與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）直線l方程可整理為：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，由直線系的知識聯立方程組，解方程組可得定點；
（2）由題意可得a的范圍，分別令x=0，y=0可得相應的截距，可表示面積，由二次函數的知識可得結論．

解答：解：（1）直線l方程可整理為：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
聯立

3x-y=0 -x+2y-1=0

，可解得

x= 1 5 y= 3 5

，
∴直線恒過定點(

1

5

，

3

5

)
（2）由題意可知直線的斜率k=

3a-1

a-2

＜0，
∴a∈(

1

3

，2)，令y=0可得x=

1

3a-1

，令x=0可得y=

-1

a-2

．
∴S△=

1

2

|

1

3a-1

|•|

-1

a-2

|=

1

2

|

1

(3a-1)(a-2)

|=

1

2

|

1

3a2-7a+2

|
由二次函數的知識可知，當a=

7

6

時，三角形面積最小，
此時l的方程為：5y+15x-6=0

點評：本題考查直線過定點問題，涉及函數最值的求解，屬中檔題．