Question

某種消費品專賣店，已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）的關系用下圖中一條折線表示；職工每人每月工資為600元，該店應交付的其他費用為每月13200元．
（I）試求該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）的關系；
（II）若該店只安排40名職工，求每月的利潤S的最大值？并指出此時該種消費品的銷售價是多少．

Answer 1

分析：（I）根據每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）的關系是一條折線，是一個分段函數，每段是一個一次函數，根據線段兩端點可求出解析式；
（II）根據每月的利潤S=每月銷售量q×銷售價p-37200建立函數關系式，然后分別在每一段上求出最大值，比較可得每月的利潤S的最大值以及此時該種消費品的銷售價．

解答：解：（I）由圖可得該函數一個分段函數，每段是一個一次函數
在[40，58]上，直線過點（40，60），（58，24），則q=-2p+140
在[58，81]上，直線過點（58，24），（81，1），則q=-p+82
∴q=

-2p+140(40≤p≤58) -p+82(58＜p≤81)

…（6分）
（II）由題意∴S=

(-2p+140)(p-40)×100-37200 (40≤p≤58) (-p+82)(p-40)×100-37200 (58＜p≤81)

…（10分）
當40≤p≤58時，求得p=55時，S_max=7800
當58＜p≤81時，求得p=61時，S_max=6900…（15分）
所以當該店只安排40名職工，每月的利潤的最大值為7800元，此時該種消費品的銷售價是55元．

點評：本題主要考查了分段函數的解析式，以及分段函數的最值和函數模型的選擇與應用，同時考查計算能力，屬于中檔題．