Question

某公司幫助殘疾人商店，將該商店改建成經營狀況良好的某種消費品專賣店，已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）之間的關系為q=

-2p+140，40≤p＜58 p-80，  58≤p≤81

；職工每人每月工資為600元，該店應交付的其它費用為每月13200元．
（Ⅰ）若當銷售價p為52元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數；
（Ⅱ）若該店只安排40名職工工作，求月利潤關于銷售價P的函數關系式，并求月利潤的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當40≤p≤58時，p、q的關系為：-2p+140=q，據此當p=52時，可求得q，設此時該店的職工人數為m，利用該店正好收支平衡可求得該店的職工人數；
（Ⅱ）設該店月收入為S，對p分①當40≤p≤58與②58＜p≤81時，求得各自的最大月利潤，比較后可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，當40≤p≤58時，p、q的關系為：-2p+140=q；
當p=52時，q=36．
設此時該店的職工人數為m，則：3800（52-40）=600m+13200，
解得：m=54，即該店的職工人數為54人；
（Ⅱ）設該店月利潤為S，
則①當40≤p≤58時，S=100（p-40）（-2p+140）-13200-600×40=-200（p-55）²+7800，
即當p=55時，最大月利潤S₁=7800．
②當58＜p≤81時，S=100（p-40）（-p+82）-13200-600×40=-100（p-61）²+6900，
即當p=61時，最大月利潤S₂=6900．
由于S₁＞S₂，故當p=55時，月利潤的最大值為7800元．

點評：本題考查分段函數的應用，突出考查二次函數的最值，考查配方法，考查分類討論思想與運算能力，正確運用分段函數是關鍵．