Question

給定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定義乘積a₁•a₂…a_k為整數的k（k∈N*）叫做“理想數”，則區間[1，2008]內的所有理想數的和為 ________．

Answer 1

2026
分析：根據換底公式：，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_k并且化簡，轉化為為整數，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區間[1，2008]內的所有理想數的和．
解答：換底公式：．
為整數，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和為2²+2³++2¹⁰-18=2026．
故答案為：2026．
點評：考查數列的綜合應用及對數的換底公式，把a₁•a₂…a_k并且化簡轉化為對數的運算，體現了轉化的思想，屬中檔題．