Question

給定a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N*），定義乘積a₁•a₂…a_k為整數(shù)的k（k∈N*）叫做“理想數(shù)”，則區(qū)間[1，2008]內(nèi)的所有理想數(shù)的和為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)換底公式：logaN=

logbN

logba

，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_k并且化簡，轉(zhuǎn)化為

lg(k+2)

lg2

為整數(shù)，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區(qū)間[1，2008]內(nèi)的所有理想數(shù)的和．

解答：解：換底公式：logaN=

logbN

logba

．
a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

為整數(shù)，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和為2²+2³++2¹⁰-18=2026．
故答案為：2026．

點評：考查數(shù)列的綜合應(yīng)用及對數(shù)的換底公式，把a₁•a₂…a_k并且化簡轉(zhuǎn)化為對數(shù)的運算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．