Question

如圖，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉得到△VBC，D是AB的中點，AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（Ⅲ）θ=

π

4

時，在線段VB上能否找到點E使二面角E-CD-B的大小也為

π

4

，若能，求λ=

BE

BV

．

Answer 1

分析：（I）根據已知中，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉得到△VBC，D是AB的中點，我們易得到VC⊥AC，VC⊥BC，進而根據線面垂直的判定定理，得到平面VAB⊥平面VCD；，以C為坐標原點，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖，我們求出各頂點的坐標，進而確定直線AB與平面VCD的法向量，利用向量法證明，AB⊥平面VCD，再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）設平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），并求出平面VAB的法向量

n

，并設直線BC與平面VAB所成角為φ，根據已知中AB=

2

a，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

），結合向量夾角公式，易得到直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（III）當θ=

π

4

時，則我們易求出滿足條件的V點的坐標，進而求出滿足條件的E點坐標，根據二面角E-CD-B的大小也為

π

4

，我們易構造一個關于λ方程，解方程即可求出滿足條件的λ．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=

2

a，AC=BC=a，
∴AC⊥BC，
∵VC⊥AC，VC⊥BC，
∴VC⊥平面ABC，
以C為坐標原點，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標系如圖，

則A（a，0，0），B（0，a，0），D（

a

2

，

a

2

，0），V（0，0，

2 a

2

tanθ ），
∴

VD

=（

a

2

，

a

2

，-

2 a

2

tanθ ），

CD

=（

a

2

，

a

2

，0），

AB

=（-a，a，0），
∴

AB

•

CD

=0，

AB

•

VD

=0，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）設平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n

•

AB

=0，

n

•

VD

=0，
∴

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y-aztanθ=0

，
∴又

n

=（1，1，

2

tanθ

），
又∵

BC

=（0，-a，0）
設直線BC與平面VAB所成角為φ，
∴sinφ=|

BC • n

| BC |•| n |

|=

2

2

sinθ，
∵0＜θ＜

π

2

，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

．λ
（Ⅲ）當θ=

π

4

時，V點坐標為（0，0，

2

2

a），
假設存在點E，則

BE

=λ

BV

，
∴E點坐標為（ 0，（1-λ）a，

2

2

λa）
設平面CDE的法向量為

m

=（x，y，z）
∴

m

•

CE

=0，

m

•

CD

=0
∴

(1-λ)ay+ 2 2 λaz=0 a 2 x+ a 2 y=0

，
∴

m

=（1，-1，

2 (1-λ)

λ

）
∵二面角E-CD-B的大小為

π

4

，
∴cos

π

4

=

CV • m

| CV |•| m |

=

2

2

，
∴

1-λ

λ

=1，
∴λ=

1

2

，
故符合題意的λ=

1

2

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標系，將面面垂直的證明及直線與平面的夾角均轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．