Question

在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．
（2）解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則點C、D的坐標分別為（a，a，0），（0，2a，0）．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．
于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．過E作EF⊥AD，垂足為F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）
于是，={－a，a，0}
設與的夾角為θ，則由
cosθ=
AE與CD所成角的余弦值為．
評述：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標及數量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．