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已知點O為△ABC內一點，滿足；
OA
+
OB
+
OC
=
0
，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=
3
，又
PC
=2
BP
，則
AP
•
AB
=
7.5
7.5
_
分析：可判三角形為等邊三角形，由正弦定理可得向量夾角的正弦值，進而可得余弦值，由數量積的定義可得答案．
解答：解：∵|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=
3
，∴O為△ABC的重心，
又
OC
•
AB
=
OC
•(
OB
-
OA
)=-(
OA
+
OB
)•(
OB
-
OA
)
=(
OA
+
OB
)•(
OA
-
OB
)=
OA
2-
OB
2=0可得
OC
⊥
AB
，
同理可得
OA
⊥
BC
，
OB
⊥
AC
，即O為垂心，
故△ABC為等邊三角形，且邊長為3
又
PC
=2
BP
，故P為邊BC的三等分點，
在直角三角形ADP中，易得AP=
AD2+PD2
=
(
3
3
2
)2+(
1
2
)2
=
7
，
進而可得sin∠APB=sin∠APD=
AD
AP
=
3
3
2
7

故在△ABP中，由正弦定理可得
BP
sin∠BAP
=
AB
sin∠APB
，
代入可得
1
sin∠BAP
=
3
3
3
2
7
，解得sin∠BAP=
3
2
7
，所以cos∠BAP=
5
2
7

故
AP
•
AB
=
7
×3×
5
2
7
=7.5
故答案為：7.5
點評：本題考查向量的數量積，涉及三角形形狀的判斷和正弦定理，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點O為△ABC內一點，且
OA
 =m
OB
 +n
OC
（其中m＜0、n＜0），S△AOB：S△AOC=2：3，則
m
n
=
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知點O為△ABC內一點，且
OA
 =m
OB
 +n
OC
（其中m＜0、n＜0），S△AOB：S△AOC=2：3，則
m
n
=______．

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已知點O為△ABC內一點，滿足；，，又，則=    _

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已知點O為△ABC內一點，且（其中m＜0、n＜0），S△AOB：S△AOC=2：3，則=    ．

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