Question

某漁業公司今年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈．第一年需各種費用12萬元，從第二年開始每年包括維修費在內，所需費用均比上一年增加4萬元，該船捕撈總收入預計每年50萬元．
（1）該船捕撈幾年開始盈利（即累計總收入減去成本及所有費用之差為正）？
（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：
①年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格將船賣出；
②累計盈利總額達到最大時，以8萬元的價格將船賣出．
問哪一種方案較為合算？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意先設n年后盈利額為y元，利用數列的求和公式即可求得y的表達式，最后令y＞0，解得n的取值范圍從而解決問題．
（2）①先求出平均盈利的函數表達式，再利用基本不等式求其最大值，從而得出盈利總額；
②先求出平均盈利的函數表達式，再利用二次函數的圖象與性質求其最大值，從而得出盈利總額；最后比較兩種情況的盈利額的情況即可解決問題．

解答：解：1）設n年后盈利額為y元y=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-98=-2n2+40n-98
令y＞0，得3≤n≤17，∴從第3年開始盈利．
2）①平均盈利

y

n

=-2n-

98

n

+40≤-2

2n× 98 n

+40=12
這種情況下，盈利總額為12×7+26=110萬元，此時n=7．
②y=-2（n-10）²+102≤102，此時n=10．
這種情況下盈利額為102+8=110．
兩種情況的盈利額都為110萬元，盈利額一樣，但方案①的時間短，故方案①合算．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、數列求和、基本不等式及函數的最值，屬于基礎題．