Question

（文科）已知函數f(x)=

2x+3

3x

，數列{a_n}滿足a1=1，an+1=f(

1

an

)(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令bn=

1

an-1an

(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b&2+…+bn，若Sn＜

m-2000

2

時n∈N^*恒成立，求最小的正整數m．

Answer 1

分析：（1）先由函數f(x)=

2x+3

3x

，化簡an+1=f(

1

an

)(n∈N*)，得an+1=an+

2

3

，數列{a_n}為等差數列，按照等差數列通項公式來求．
（2）∵T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，化簡得，T_n=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)=-

4

9

(2n2+3n)，可用分組求和．
（3）先根據a_n求b_n，再用裂項求和求S_n，數列的最值問題有兩種思路，一是利用數列的函數性質，二是利用數列的遞推性質．

解答：解：（1）由an+1=f(

1

an

) 得 an+1=an+

2

3

∴數列{a_n}為等差數列
∴an=

2n

3

+

1

3

 （n∈N^*）
（2）T_n=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)
=-

4

9

(2n2+3n)
（3）bn=

9

(2n-1)(2n+1)

(n≥2)  b₁=3也適合上式．
故bn=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴sn=

9

2

[(1-

1

3

-)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

9n

2n+1

恒成立
9n2n+1＜m-20002對n∈N^*恒成立
又

9n

2n+1

=

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

∴

m-2000

2

≥

9

2

，∴m≥2009
故最小的正整數m為2009

點評：本題綜合考查了數列通項、數列求和、數列的函數性質，解題時要認真觀察，仔細把握，靈活運用