Question

（2012•甘肅一模）（文科）已知函數f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）求函數f（x）的最大值與單調遞增區間；
（2）求使f（x）≥3成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為2+2sin（2x-

π

6

），由此求得它的最大值，由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，解開得到函數的增區間．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-

π

6

）≥

1

2

，故 2kπ+

5π

6

≥2x-

π

6

≥2kπ+

π

6

，k∈z，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數f（x）=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x=1+2sin²x+

3

sin2x=1+1-cos2x+

3

sin2x
=2+2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2+2sin（2x-

π

6

）．
故當 sin（2x-

π

6

）=1時，函數f（x）取得最大值為4．
 令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得  kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
故函數的增區間為[kπ-

π

6

≤xkπ+

π

3

]，k∈z．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x-

π

6

）≥

1

2

，
∴2kπ+

5π

6

≥2x-

π

6

≥2kπ+

π

6

，k∈z．
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，
故使f（x）≥3成立的x的集合為{x|kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，k∈z }．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，屬于中檔題．