Question

【題目】已知函數是奇函數，.

（1）求a的值

（2）判斷函數在上的單調性，說明理由；

（3）若任意，不等式總成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）單調遞增；見解析；（3）

【解析】

（1）根據奇偶性可得定義域關于原點對稱,再求出函數的定義域求解,

（2）設任意,且,利用定義法證明函數單調性即可.

(3) 由題意知,時恒成立,再根據單調性求的最小值即可.

（1）∵是奇函數,∴定義域關于原點對稱,

由,得.

令,得,,∴,解得.

(2) 函數在上的單調遞增.

令,設任意,且,

則,

∵,∴,,,

∴,即.

所以對任意,且

由函數在定義域內是單調遞減函數，則

所以，即

∴在上為增函數.

（3）由題意知,時恒成立,

令,,由（1）知在上為增函數,

又在上也是增函數,故在上為增函數,

∴的最小值為,

∴,故實數的范圍是.