Question

在數列中，，前項和構成公比為的等比數列.

（Ⅰ）求證：數列不是等比數列；

（Ⅱ）設，求

Answer 1

（I）證明：由已知S₁=a₁=b  ∵{S_n}成等比數列，且公比為q
∴S_n=bq^n－1，∴S_n－1=b?q^n－2(n≥2)
當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=bq^n－1－bq^n－2=b?(q－1)?q^n－2 

故當q≠1時，==q

而==q－1≠q，∴{a_n}不是等比數列

當q=1，n≥2時，a_n=0，所以{a_n}也不是等比數列

綜上所述，{a_n}不是等比數列。       

（II）解：∵|q|<1，由（1）知n≥2，a₂,a₃,a₄，…，a_n構成公比為q的等比數列

∴a₂S₂,a₃S₃,…,a_nS_n是公比為q²的等比數列。       

∴b_n=b²+a₂S₂?(1+q²+q⁴+…+q^2n－4)

∵S₂=bq,a₂=S₂－S₁=bq－b                       

∴a₂S₂=b²q(q－1)
∴b_n=b²+b²q(q－1)?             

∵|q|<1                     ∴q^2n－2=0

∴b_n=b²+b²q(q－1)?=