Question

已知點F₁，F₂是雙曲線M：的左右焦點，其漸近線為，且右頂點到左焦點的距離為3．
（1）求雙曲線M的方程；
（2）過F₂的直線l與M相交于A、B兩點，直線l的法向量為，且，求k的值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點C滿足，求m的值及△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸近線為，且右頂點到左焦點的距離為3，得到a=1，b=，c=2，由此能求出雙曲線方程．
（2）直線l的方程為y=k（x-2），由得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，再由韋達定理和平面向量知識能夠得到k．
（3）把 代入（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，得4x²+4x-9=0，此時，所以．由此入手能求出m的值及△ABC的面積S_△ABC．
解答：解：（1）∵漸近線為，且右頂點到左焦點的距離為3．
∴a=1，b=，c=2，
∴雙曲線方程為：．…（4分）
（2）直線l的方程為y=k（x-2），由得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0（*）
所以…（6分）
由得x₁•x₂+y₁•y₂=0
即（1+k²）x₁•x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0
代入化簡，并解得（舍去負值），
∴．…（9分）
（3）把 代入（*）并化簡得4x²+4x-9=0，
此時，
所以…（11分）
設C（x，y），由得代入雙曲線M的方程解得（舍），m=2，所以，…（14分）
點C到直線AB的距離為，
所以．…（16分）
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．