Question

18．已知雙曲線${\frac{x}{3}^2}-\frac{y^2}{6}=-1$的焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線上．若∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{3}$
• D． $6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 將雙曲線方程轉化成標準方程：求得焦點坐標，利用余弦定理求得丨PF₁丨•丨PF₂丨=12，S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60°，求得△F₁PF₂的面積即為所求．

解答 解：由題意可得雙曲線$\frac{{y}^{2}}{6}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，即a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{3}$，c=3，
則F₂（0，3），F₁ （0，-3），
又丨F₁F₂丨²=36，|丨PF₁丨-丨PF₂|丨=2a=2$\sqrt{6}$，
由余弦定理可得：
丨F₁F₂丨²=丨PF₁丨²+丨PF₂丨²-2丨PF₁丨•丨PF₂丨cos60°
=（丨PF₁丨-丨PF₂|）²+丨PF₁丨•丨PF₂丨=24+丨PF₁丨•丨PF₂丨，
∴丨PF₁丨•丨PF₂丨=12，
△F₁PF₂的面積S，S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題考查雙曲線的定義和標準方程，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．