Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

，求證：{a_n}成等差數列的充要條件是{b_n}成等差數列．（參考公式：12+22+32+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

)．

Answer 1

分析：先證必要性：若{a_n}成等差數列，設其公差為d，可用d，a₁表示出b_n，進而可表示b_n+1，易得b_n+1-b_n為常數，從而可得結論；再證充分性：若{b_n}成等差數列，設其公差為e，可得a1+2a2+3a3+…+nan=

n(n+1)

2

bn，進而可得a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=

(n+1)(n+2)

2

bn+1，兩式相減可用b₁，e表示出a_n+1，易得a_n+1-a_n為常數，從而可得結論；

解答：證明：必要性證明：
若{a_n}成等差數列，設其公差為d，則a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=a₁+2（a₁+d）+3（a₁+2d）+…n[a₁+（n-1）d]
=（1+2+3+…+n）a₁+[1×2+2×3+3×4+…（n-1）×n]d
=

n(n+1)

2

a1+[(22-2)+(32-3)+…+(n2-n)]d
=

n(n+1)

2

a1+[(

n(n+1)(2n+1)

6

-1)-(

n(n+1)

2

-1)]d
=

n(n+1)

2

a1+

(n-1)n(n+1)

3

d，
從而bn=

n(n+1) 2 a1+ (n-1)n(n+1) 3 d

n(n+1) 2

=a1+

2

3

(n-1)d，
則bn+1-bn=

2

3

d(n∈N*)為常數，∴{b_n}成等差數列；
充分性證明：
若{b_n}成等差數列，設其公差為e，則a1+2a2+3a3+…+nan=

n(n+1)

2

bn，
則a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=

(n+1)(n+2)

2

bn+1，
兩式相減得：(n+1)an+1=

n+1

2

[(n+2)bn+1-nbn]，
則an+1=

n+2

2

(b1+ne)-

n

2

[b1+(n-1)e]=b1+

3

2

ne，
則an+1-an=

3

2

e(n∈N*)為常數，
∴{a_n}成等差數列．
綜上所述，{a_n}成等差數列的充要條件是{b_n}成等差數列．

點評：本題考查數列遞推式及等差關系的確定，考查充分必要條件，考查學生的邏輯推理能力，屬中檔題．