Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x+1）為奇函數(shù)，f（0）=0，當x∈（0，1]時，f（x）=log₂x，則在（8，10）內(nèi)滿足方程f（x）+1=f（1）的實數(shù)x為（　　）

• A．

  19

  2

• B．9
• C．

  17

  2

• D．

  33

  4

Answer 1

分析：由f（x+1）為奇函數(shù)，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）為偶函數(shù)可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數(shù)．當8＜x≤9時，求得f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由log₂（x-8）+1=0，得x的值．當9＜x＜10時，求得x無解，從而得出結(jié)論．

解答：解：∵f（x+1）為奇函數(shù)，即f（x+1）=-f（-x+1），即f（x）=-f（2-x）．
當x∈（1，2）時，2-x∈（0，1），∴f（x）=-f（2-x）=-log₂（2-x）．
又f（x）為偶函數(shù)，即f（x）=f（-x），于是f（-x）=-f（-x+2），即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4為周期的函數(shù)．
∵f（1）=0，∴當8＜x≤9時，0＜x-8≤1，f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由log₂（x-8）+1=0，得x=

17

2

．
當9＜x＜10時，1＜x-8＜2，f（x）=f（x-8）=-log2[2-（x-8）]=-log₂（10-x），
-log₂（10-x）+1=0，得10-x=2，x=8＜9（舍）．
綜上x=

17

2

，
故選C．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．