Question

已知定義域為R的單調函數f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=

x

3

-2^x
（I）求f（-1）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題意得，f（-1）=-f（1），結合當x＞0時，f（x）=

x

3

-2^x即可求出f（-1）；
（II）由定義域為R的函數f（x）是奇函數，知f（0）=0．當x＜0時，f（-x）=

-x

3

-2-x，由函數f（x）是奇函數，知f（x）=

x

3

+2-x，由此能求出f（x）的解析式．
（III）由f（1）=-

5

3

＜f（0）=0且f（x）在R上單調，知f（x）在R上單調遞減，由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再由根的差別式能求出實數k的取值范圍．

解答：解：（I）f（-1）=-f（1）=-（

1

3

-2）=

5

3

；
（II）∵定義域為R的函數f（x）是奇函數，
∴f（0）=0，
當x＜0時，-x＞0，
f（-x）=-

x

3

-2^-x，
又∵函數f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

x

3

+2^-x，
綜上所述f（x）=

x 3 -2x，x＞0 0，x=0 x 3 +2-x，x＜0

．
（III）∵f（1）=-

5

3

＜f（0）=0，
且f（x）在R上單調，
∴f（x）在R上單調遞減，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（x）是減函數，
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

，即為所求．

點評：本題考查函數的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，同時注意函數性質的靈活運用．