Question

已知定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

x

3

-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，知f（0）=0．當(dāng)x＜0時(shí)，f(-x)=

-x

3

-2-x，由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，知f(x)=

x

3

+2-x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f(1)=-

5

3

＜f(0)=0且f（x）在R上單調(diào)，知f（x）在R上單調(diào)遞減，由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再由根的差別式能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
f(-x)=

-x

3

-2-x，
又∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f(x)=

x

3

+2-x，
綜上所述f(x)=

x 3 -2x (x＞0)   0 (x=0)   x 3 +2-x (x＜0)

．
（2）∵f(1)=-

5

3

＜f(0)=0，
且f（x）在R上單調(diào)，
∴f（x）在R上單調(diào)遞減，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（x）是減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0對(duì)任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，同時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．