Question

（08年廣東佛山質檢理）設直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

           

       根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

Answer 1

解析: （Ⅰ）由得，                 -----------1分

當時，，

此時，，   -----------2分

，所以是直線與曲線的一個切點；      -----------3分

當時，，

此時，，            -----------4分

，所以是直線與曲線的一個切點；       -----------5分

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；

對任意x∈R，，

所以        ---------------------------------------------------------------------6分

因此直線是曲線的“上夾線”．        ----------7分

（Ⅱ）推測：的“上夾線”的方程為       ------9分

①先檢驗直線與曲線相切，且至少有兩個切點：

設：

 ，

令，得：（kZ）             ------10分

當時,

故：過曲線上的點(，)的切線方程為：

y－[]= [－()]，化簡得：．

即直線與曲線相切且有無數個切點．    -----12分

不妨設

②下面檢驗g(x)F(x)

g(x)－F(x)=

直線是曲線的“上夾線”．           -----14分