Question

如圖，2n臺機器放在同一條直線形生產線上，它們所生產的零件都必須送到一個檢驗臺上進行檢驗，已知移動零件所需的費用與所移動的距離成正比，要使移動零件到檢驗臺的總費用最少，檢驗臺的位置可以放置于以下情況中的哪幾種？

①點M₁處；
②點Mn處；
③線段M₁M_2n上任一點；
④點M_n+1處
⑤線段M_nM_n+1的中點處．

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ②④⑤
4. D.
   ②③⑤

Answer 1

C
分析：我們 設想，先考察n=2，3，4等特殊情形，再從中尋求其一般規律，即探求其模 式．
解答：現在考察一些特殊情形：（1）如果只有2臺機器，則易知線段M1M2 上任何一點都是檢驗臺的最佳 位置（圖1-2）． （2）如果有3臺機器，則也易知檢驗臺應放在中間的機器M2 的位置處（3）如果有4臺機器，則對兩端的機器M1 和M4來說，線段M1 M4 上任 何一點都是最佳位置；對中間的2臺機器M2 和M3 來說，線段M2 M3 上任 何一點都是最佳位置．因此，對4臺機器來說，線段 M2 M3 （=M1 M4∩M2 M3 ）上的任何點都是最佳位置對于5臺或6臺機器，問題也都容易解決．我們容易證明：一般地，如果 機器的臺數是奇數，則最中間那臺機器的位置就是檢驗臺的最佳位置；如果 臺數是偶數，則處在最中間的兩臺機器之間的任何點都是最佳位置．
綜上所述，檢驗臺的位置可以放置于以下情況中的點Mn處，點M_n+1處，線段M_nM_n+1的中點處．
故選C
點評：本題中設計的元素較多，不易直接求最大值，采用了有特殊到一般的解決辦法．