Question

已知函數f(x)=ax2+

x

e

-lnx（其中a為常數，e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當a=

1

2

時，判斷函數f（x）的單調性并寫出其單調區間；
（Ⅱ）當a＞0時，求證：f（x）=0沒有實數解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件知函數f（x）的定義域是（0，+∞），求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，
（II）令g(x)=ax+

1

e

(x＞0)，h(x)=

lnx

x

(x＞0)，當a＞0時，f（x）＞

1

e

，h′(x)=

1-lnx

x2

(x＞0)，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上為增函數，（e，+∞）上為減函數，從而得出h（x）最大值，最終得到即f(x)=ax2+

x

e

-lnx＞0恒成立，從而f（x）=0無解．或者設f （x）的極小值點為x₀，利用其最小值f(x0)=ax02+

x0

e

-lnx0恒大于0即可證得f（x）=0沒有實數解．

解答：解：（Ⅰ）因為x＞0，
當a=

1

2

時，f′(x)=2ax+

1

e

-

1

x

=x+

1

e

-

1

x

=

ex2+x-e

ex

，
令f'（x）＞0，所以x＞

-1+ 1+4e2

2e

，
令f'（x）＜0，所以0＜x＜

-1+ 1+4e2

2e

；
所以函數f（x）的單調增區間為(

-1+ 1+4e2

2e

，+∞)；
單調減區間為(0，

-1+ 1+4e2

2e

)．-------------------------------------（7分）

（Ⅱ）解一：令g(x)=ax+

1

e

(x＞0)，h(x)=

lnx

x

(x＞0)
當a＞0時，g(x)＞

1

e

----------------------------------------------------------（10分）h′(x)=

1-lnx

x2

(x＞0)
令h'（x）＞0，則x∈（0，e）
所以h（x）在（0，e）上為增函數，在（e，+∞）上為減函數，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

---------------------------------------------------------------（13分）
所以x＞0時，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+

1

e

＞

lnx

x

即ax+

1

e

＞

lnx

x

，f(x)=ax2+

x

e

-lnx＞0恒成立，
所以f （x）=0無解．----------------------------------------------------------------------（15分）
解二：設f （x）的極小值點為x₀，則f(x0)=ax02+

x0

e

-lnx0，
令g（x₀）=

x0

e

-lnx0，則g'（x₀）=

1

e

-

1

x0

，---------------------------------（10分）
當x₀＞e 時，g'（x₀）＞0，
當x₀＜e 時，g'（x₀）＜0，
所以g（x₀）_min=g（e）=0，即

x0

e

-lnx0＞0，------------------------------------------（13分）
故f(x0)=ax02+

x0

e

-lnx0＞0恒成立．
所以f （x）=0無解．-------------------------------------------------（15分）

點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題．