Question

①在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以C為圓心，且與BD相切的圓內運動，設

AP

=α

AD

+β

AB

（α、β∈R），求α+β的取值范圍；
②△ABC中，證明不等式

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2．

Answer 1

分析：①建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程；設出P的坐標，求出三個向量的坐標，將P的坐標用α，β表示，代入圓內方程求出范圍．
②利用放縮法可得

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，進而證得

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，進而根據柯西不等式，可求證出

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3≥

9

2

，綜合后可得答案．

解答：解：以D為坐標原點，CD為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系則
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
直線BD的方程為x+3y=0
C到BD的距離為

1

10

∴以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為（x+1）²+y²=

1

10

設P（x，y），則

AP

=（x，y-1），

AD

=（0，-1），

AB

=（-3，0）
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∵

AP

=α

AD

+β

AB

∴x=-3β，y=-α
∵P在圓內
∴（-3β+1）²+（1-α）²≤

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

②在△ABC中，a，b，c＞0
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2
又∵

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3
=(

a

b+c

+1)+(

b

c+a

+1)+(

c

a+b

+1)
=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）
=

1

2

[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

）≥

1

2

（1+1+1）²=

9

2

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

綜上所述

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2

點評：①通過建立直角坐標系將問題代數化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標公式．
②本題考查的知識點是放縮法證明不等式和柯西不等式，難度比較大．