Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

2

，過A作AE⊥CD，垂足為E．G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使二面角D-AE-C的平面角為135°．
（Ⅰ）求證：FG∥平面BCD； 
（Ⅱ）求異面直線GF與BD所成角的余弦值； 
（Ⅲ）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）取AB中點H，連接GH，FH，利用三角形中位線定理，我們易判斷GH∥BD，FH∥BC，進而根據面面平行的判定定理，得到面FHG∥面BCD，結合面面平行的性質，即可得到結論．
（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直于直線CE的延長線于O，可得：DO⊥平面ABCE，根據題意可得：DEO=45°，再過O作OM⊥OC，進而建立空間直角坐標系利用空間向量的有關知識求出線線角．
（Ⅲ）分別求出兩個平面的法向量，利用空間向量的有關知識求出兩個向量的夾角，進而轉化為兩個平面的平面角．

解答：解：（Ⅰ）取AB中點為H，連接GH，FH，又G為AD的中點，
∴GH∥BD．
又因為GH?平面BCD，BD?平面BCD，
∴GH∥平面BCD
同理可證FH∥BC，FH∥平面BCD，
所以面FHG∥面BCD，
又∵GF?平面FGH，
∴FG∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）延長CE，過D作DO垂直于直線CE的延長線于O，易證DO⊥平面ABCE
又∵AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D-AE-C的平面角為135°
∴∠DEO=45°∵DE=

2

∴OE=1，DO=1
過O作OM⊥OC，
所以以O為原點，以OM，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的直角坐標系．

則D（0，0，1），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），H(2，

3

2

，0)，G(1，

1

2

，

1

2

)，F(0，

3

2

，0)，
所以

GF

=(-1，1，-

1

2

)，

BD

=(-2，-2，1)，
所以cos＜

GF

，

BD

＞=

GF • BD

| GF |•| BD |

=-

1

9

所以異面直線GF與BD所成的角的余弦值為

1

9

…（8分）
（Ⅲ）

DA

=(2，1，-1)，

DB

=(2，2，-1)，

DC

=(0，2，-1)
設平面ABD的法向量為

n

1=(x，y，z)，
則

n • DA =0 n • DB =0

，即

2x+y-z=0 2x+2y-z=0

∴取

n1

=(x，0，2x)
設平面BDC的法向量為

n

2=(a，b，c)，
則

n • DC =0 n • DB =0

，即

2b-c=0 2a+2b-c=0

∴

n2

=(0，b，2b)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

4

5

∴二面角A-BD-C大小為π-arccos

4

5

．…（12分）

點評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行，以及求二面角的平面角與異面直線的夾角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．