Question

設a＞1，則當y=a^x與y=log_ax兩個函數圖象有且只有一個公共點時，lnlna=______．

Answer 1

因為y=a^x與y=log_ax兩個函數互為反函數，它們的圖象關于y=x對稱，所以要使兩個函數圖象有且只有一個公共點時，則它們y=x是兩個函數的共同的切線．
設兩個函數相切時的切點坐標為M（x₀，y₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，
所以ax0=x0，且函數y=a^x的導數為y′=f′(x0)=ax0lna=1，
即

ax0=x0 ax0lna=1

，所以

ax0=x0 1 lna =x0

，
則a

1

lna

=

1

lna

，兩邊取對數得ln?a

1

ln?a

=ln?

1

ln?a

=1，
所以解得e=

1

lna

，所以lna=

1

e

，即a=e

1

e

，此時x₀=e．
所以lnlna═ln（

1

e

）=-1．
故答案為：-1．