Question

設a＞1，則當y=a^x與y=log_ax兩個函數圖象有且只有一個公共點時，lnlna=________．

Answer 1

-1
分析：利用同底的指數函數和對數函數互為反函數的性質，得到兩個函數只有一個公共點的等價條件．
解答：因為y=a^x與y=log_ax兩個函數互為反函數，它們的圖象關于y=x對稱，所以要使兩個函數圖象有且只有一個公共點時，則它們y=x是兩個函數的共同的切線．
設兩個函數相切時的切點坐標為M（x₀，y₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，
所以，且函數y=a^x的導數為，
即，所以，
則，兩邊取對數得=1，
所以解得e=，所以，即，此時x₀=e．
所以lnlna═ln（）=-1．
故答案為：-1．
點評：本題主要考查指數函數和對數函數互為反函數，以及利用導數求曲線切線問題，綜合性較強，難度較大．