Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象向右平移個單位后，得到函數y=g（x）的圖象，若，α為第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的遞增區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）利用平移規律：“左加右減”，確定出f（x）平移后的解析式g（x），根據g（α）的值列出關系式，整理后得出sin（2α-）的值，由α為第一象限角，得出2α-的范圍，再根據sin（2α-）的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（2α-）的值，將所求式子中的角2α變形為（2α-）+，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將各自的值代入即可求出值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區間是[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）由題意得：g（x）=sin（2x-）+1，
由A（0，-1），得sin（2α-）+1=+1，
∴sin（2α-）=，
又α為第一象限角，
∴2α-∈（4kπ-，4kπ+），k∈Z，
又0＜sin（2α-）＜＜知，
∴2α-∈（4kπ，4kπ+），k∈Z，
∴cos（2α-）=，
∴sin2α=sin[（2α-）+]=[sin（2α-）+cos（2α-）]=（+）=．
點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角函數圖象的變換，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．