Question

已知命題p：f^-1（x）是f（x）=1-3x的反函數，且|f^-1（a）|＜2；命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=Ф．
（Ⅰ）解不等式|f^-1（a）|＜2
（Ⅱ）求使命題p，q中有且只有一個真命題時實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由y=1-3x可得f^-1（x）=

1-x

3

…（2分）
又由|f-1(a)|＜2即|

a-1

3

|＜2…（3分）
解得：p：-5＜a＜7…（4分）
（Ⅱ）當△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0時，A=Ф，
此時A∩B=Ф…（5分）
又當△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0時A∩B=Ф?

a≤-4或a≥0     x1+x2=-(a+2)＜0     x1x2=1＞0

…（6分）
解得：a≥0
∴q：a＞-4…（8分）
（1）當p真q假時，

-5＜a＜7   a≤-4

∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）當p假q真時，

a≤-5或a≥7   a＞-4

∴a≥7…（10分）
∴當a∈（-5，-4]∪[7，+∞）時，p，q中有且只有一個為真命題…（12分）