Question

【題目】設函數f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m對一切實數x均成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當x≥4時，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，

得x＞﹣5，所以x≥4成立；

當﹣ ≤x＜4時，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，

得x＞1，所以1＜x＜4成立；

當x＜﹣ 時，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．

綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜﹣5}

（2）解：令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|

≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，

當﹣ 時等號成立．

即有F（x）的最小值為9，

所以m≤9．

即m的取值范圍為（﹣∞，9]

【解析】（1）對x討論，分當x≥4時，當﹣ ≤x＜4時，當x＜﹣ 時，分別解一次不等式，再求并集即可；（2）運用絕對值不等式的性質，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范圍．