Question

(理)如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=AB,E是BP的中點(diǎn).

(1)求證:EC∥平面APD;

(2)求BP與平面ABCD所成角的正切值;

(3)求二面角PABD的大小.

(文)如圖,在三棱錐P—ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,PA=AC=2,AB=1,M為PC的中點(diǎn).

(1)求證:平面PCB⊥平面MAB;

(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離;

(3)求二面角CPBA的正切值.

Answer 1

答案：(理)解法一:(1)如圖,取PA中點(diǎn)F,連結(jié)EF、FD,

∵E是BP的中點(diǎn),∴EF∥AB且EF=AB.又∵DC∥AB,DC=AB,∴EF∥CD且EF=CD.

∴四邊形EFDC是平行四邊形,故得EC∥FD.

又∵EC平面PAD,FD平面PAD,∴EC∥平面ADP.

(2)取AD中點(diǎn)H,連結(jié)PH,BH,因?yàn)镻A=PD,所以PH⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD,∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影.∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角.

由已知∠ABC=∠BCD=90°,∴四邊形ABCD是直角梯形.

DC=CB=AB.設(shè)AB=2a,則BD=a,在△ADB中,易得∠DBA=45°,∴AD=a.

PH=.又∵BD²+AD²=4a²=AB²,∴△ABD是等腰直角三角形,∠ADB=90°.∴HB=.

∴在Rt△PHB中,tan∠PBH=.

(3)在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)H作AB的垂線交AB于G點(diǎn),連結(jié)PG,則HG是PG在平面ABCD內(nèi)的射影,故PG⊥AB,所以∠PGH是二面角PABD的平面角,由AB=2a,

HA=a,又∠HAB=45°,∴HG=a.在Rt△PHG中,tan∠PGH=.

∴二面角PABD的大小為arctan.

解法二:(1)同解法一.

(2)設(shè)AB=2a,同解法一中的(2)可得∠ADB=90°.如圖,以D點(diǎn)為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DB所在直線為y軸,過(guò)D點(diǎn)且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B(0,a,0),P(a,0,a),則PB=(-a,a,-a),

平面ABCD的一個(gè)法向量為m=(0,0,1).

所以cos〈,m〉=,

可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為.

所以PB與平面ABCD所成角的正切值為.

(3)易知A(a,0,0),則=(,0),設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x₀,y₀,z₀),

則

令x₀=1,可得n=(1,1,1),

得cos〈m,n〉=,所以二面角PABD的大小為arccos.

(文)方法一:(1)∵PA⊥AB,AB⊥AC,

∴AB⊥平面PAC.故AB⊥PC.∵PA=AC=2,M為PC的中點(diǎn),∴MA⊥PC.

∴PC⊥平面MAB.又PC平面PCB.所以平面PCB⊥平面MAB.

(2)如圖,在平面MAB中作AE⊥MB,垂足是E,∵平面PCB⊥平面MAB,平面PCB∩平面MAB=MB,∴AE⊥平面PBC.∴AE的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面PBC的距離.又∵AB⊥平面PAC,∴AB⊥AM.∴在Rt△ABM中,AB=1,AM=,MB=.

∴AE·MB=AB·AM.∴AE=即為所求.

(3)在平面PAB中作AF⊥PB,垂足是F,連接CF,∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.則AC⊥AF,且AF是CF在平面PAB內(nèi)的射影,∴CF⊥PB(三垂線定理).∴∠AFC是二面角CPBA的平面角,

在Rt△PAB中,PA=2,AB=1,PB=,可得AF=,

∴在Rt△AFC中,tan∠AFC=即為所求.

方法二:(1)同方法一.

(2)以A為原點(diǎn),建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)為

A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),P(0,0,2),M(1,0,1).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),且=(0,1,-2),=(2,0,-2).

∴n·=y-2z=0,n·=2x-2z=0.∴x=z,y=2z.令z=1,可得x=1,y=2,∴n=(1,2,1).

又=(0,1,0),∴點(diǎn)A到平面PBC的距離d=.

(3)∵PA⊥AC,AB⊥AC,∴AC⊥平面PAB.∴平面PAB的法向量為=(2,0,0),

設(shè)二面角CPBA的大小為θ,∴cosθ=.故tanθ=5即為所求.