Question

已知數列{b_n}中，b₁=1，且點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，
（Ⅰ） 求數列{b_n}的通項公式
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求數列{b_nc_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上，確定數列{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，可求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據數列遞推式a_n+1=2a_n+3，可得a_n+1+3=2（a_n+3），從而可得{a_n+3}是以4為首項，2為公比的等比數列，由此可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）確定數列的通項，利用錯位相減法，可得數列{b_nc_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上，∴b_n+1-b_n=1
∵b₁=1，∴數列{b_n}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴b_n=n（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∵a₁=1，∴a₁+3=4
∴{a_n+3}是以4為首項，2為公比的等比數列
∴a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴an=2n+1-3（n∈N^*）；
（Ⅲ）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，∴b_nc_n=n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①
∴2S_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②
①-②可得：-S_n=1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
∴Sn=(n-1)•2n+2+4（n∈N^*）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項的確定，考查數列的求和，確定數列是等差數列與等比數列是解題的關鍵．