Question

如圖，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為（　　）

• A、arccos

  1

  3 2

• B、arccos

  1

  2

• C、arccos

  1

  2

• D、arccos

  1

  4 2

Answer 1

分析：設過A點的一條母線為BC，其中B為頂點，過A點作OB的垂線交OB于D，令圓錐體的體積為V，OC=R，DA=r，母線與軸夾角為∠OBA=∠β，求出上部兩個圓錐的體積的和，再求出大圓錐的體積，兩個之比為

1

2

，然后求出β的值．

解答：解；設過A點的一條母線為BC，其中B為頂點，過A點作OB的垂線交OB于D，
令圓錐的體積為V，OC=R，DA=r，母線與軸夾角為∠OBC=∠β
將OBA看作是底面積相等的兩個錐形，

1

3

r²π•BD+

1

3

r²π•0D=

1

2

V

1

3

r²π•OB=

1

2

V…①
V=

1

3

R²π•OB…②
由①、②得
R²=2•r²（R=r

2

），r=OA•COSβ
OA=R•COSβ，r=R•COS²β，COS²β=

t

R

=

2

2

β=arccos

1

4 2

故選D．

點評：本題考查圓錐的結構特征，考查分析問題解決問題的能力，是基礎題．