Question

設{a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個等比數列,c_n=a_n+b_n,證明數列{c_n}不是等比數列.

Answer 1

證法一:否定一個結論舉一特例即可,即只需說明≠,即c₂²≠c₁·c₃.

設a_n=a₁p^n－1,b_n=b₁q^n－1,且p≠q,則c₂²=(a₁p+b₁q)²=a₁²p²+2a₁b₁pq+b₁²q²,

c₁·c₂=(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²)=a₁²p²+a₁b₁q²+a₁b₁p²+b₁²q²,

c₂²－c₁·c₃=a₁b₁(2pq－p²－q²)=－a₁b₁(p－q)².

∵a₁≠0,b₁≠0,p≠q,∴c₂²－c₁c₂≠0,

故{c_n}不是等比數列.

證法二:反證法.

假設數列{c_n}是等比數列,則存在常數k(不等于零),使得=k(n∈N^*),

即c_n+1=kc_n.

設a_n=a₁p^n－1,b_n=b₁q^n－1且p≠q,

代入上式中整理得a₁pⁿ+b₁qⁿ=·pⁿ+·qⁿ.

∵上式對任意n∈N^*成立,

∴必須考慮到a₁≠0,b₁≠0,

解得p=q=k.這與已知公比p≠q矛盾,故數列{c_n}不是等比數列.