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(05年山東卷理)(12分)

已知是函數的一個極值點,其中

(I)求的關系式;

(II)求的單調區間;

(III)當時,函數的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3,求的取值范圍.

解析:(I)

是函數的一個極值點

,即

(II)由(I)知,=

時,有,當變化時,的變化如下表:

1

0

0

單調遞減

極小值

單調遞增

極大值

單調遞減

故有上表知,當時,單調遞減,在單調遞增,在上單調遞減.

(III)解法一:由已知得,即

,其函數開口向上,由題意知①式恒成立,

解之得所以

的取值范圍為

解法二:由已知,得>3,即3(-1)[-(1+)]>3

<0

∴(-1)[-(1+)]<1      (*)

=1時,(*)化為0<1恒成立,∴<0

≠1時,∵[-1,1],∴-2≤-1<0

(*)式化為<(-1)-

=-1,則[-2,0),記,則在區間[-2,0)是單調增函數

由(*)式恒成立,必有,又<0,則

綜合1°、2 °得

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