Question

（12分）設函數在及時取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），．（Ⅱ）。

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。：函數在某點存在極值的性質，函數恒成立問題題，而函數①f（x）＜c²在區間[a，b]上恒成立與②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c²是不同的問題．①⇔f（x）_max＜c²，②⇔f（x）_min＜c²，在解題時要準確判斷是“恒成立”問題還是“存在”問題．在解題時還要體會“轉化思想”及“方程與函數不等式”的思想的應用．

（1）依題意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．

（2）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立⇔f（x）_max＜c²在區間[0，3]上成立，根據導數求出函數在[0，3]上的最大值，進一步求c的取值范圍．

解：（Ⅰ），由，．解得，．

（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，

由（Ⅰ）可知，，．

當時，；當時，；當時，．

即在0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當時，取得極大值，又．故當時，的最大值為．

于是有：，解得　或，因此的取值范圍為。