Question

【題目】為迎接2018年省運會，寧德市某體育館需要重新鋪設塑膠跑道．已知每毫米厚的跑道的鋪設成本為10萬元，跑道平均每年的維護費C（單位：萬元）與跑道厚度x（單位：毫米）的關系為C（x）=，x∈[10，15]．若跑道厚度為10毫米，則平均每年的維護費需要9萬元．設總費用f（x）為跑道鋪設費用與10年維護費之和．

（1）求k的值與總費用f（x）的表達式；

（2）塑膠跑道鋪設多厚時，總費用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當毫米時，總費用最小，最小值為180萬元．

【解析】

（1）依題意，x=10時，C（10）=，求得k值，得到C（x）=，則f（x）的解析式可求；

（2）由（1）得f（x）=10x+，變形后利用基本不等式求最值．

（1）依題意，x=10時，C（10）=，解得k=36，

∴C（x）=，則f（x）=10x+=10x+，x∈[10，15]；

（2）由（1）得f（x）=10x+=10x-60+，

=10（x-6）+，

當且僅當10（x-6）=，即x=12時取最小值，

答：當x=12毫米時，總費用f（x）最小，最小值為180萬元．