Question

已知命題p：f（x）=x²-ax+1在[-1，1]上不具有單調性；命題q：?x₀∈R，使得x02+2ax0+4a=0
（Ⅰ）若p∧q為真，求a的范圍．
（Ⅱ）若p∨q為真，求a的范圍．

Answer 1

分析：根據f（x）=x²-ax+1在[-1，1]上不具有單調性，得對稱軸x=

a

2

∈（-2，2），進而求得命題p為真時a的取值范圍；根據方程有解的條件求得命題q為真時a的取值范圍，
（I）由復合命題真值表知：若p∧q為真，則命題p，q都為真命題，由此求得a的取值范圍是集合的交集；
（II）由復合命題真值表知：若p∨q為真，則命題p，q至少一個為真命題，則a的取值范圍是集合的并集．

解答：解：∵f（x）=x²-ax+1在[-1，1]上不具有單調性，
∴-1＜

a

2

＜1⇒-2＜a＜2；
∴命題p為真時，-2＜a＜2；
命題q為真時：△=4a²-16a≥0⇒a≥4或a≤0，
（Ⅰ）由復合命題真值表知：若p∧q為真，則命題p，q都為真命題，則a的取值范圍是{a|-2＜a＜2}∩{a|a≥4或a≤0}={a|-2＜a≤0}；
（Ⅱ）由復合命題真值表知：若p∨q為真，則命題p，q至少一個為真命題，則a的取值范圍是{a|-2＜a＜2}∪{a|a≥4或a≤0}={a|a＜2或a≥4}．

點評：本題考查了復合命題的真假規律，考查了二次函數在定區間上的單調性及一元二次方程有解的條件，解答的關鍵是熟練運用復合命題真值表．