Question

一個四棱錐的三視圖如圖所示，E為側棱PC上一動點．
（I）畫出該四棱錐的直觀圖，并求它的側面積
（II）取PC中點E，求證：PA∥面EBD．

Answer 1

解：（1）由俯視圖可該四棱錐的底面是邊長為2且銳角為60°的菱形，由正視圖和側視圖，
可得該四棱錐的高恰好是頂點P與底面中心O的連線，且高長等于1
由此可得，它的直觀圖如下，

∵△PAB中，PA==2，PB==
∴cos∠PAB==，得sin∠PAB==
由正弦定理，得S_△PAB=×PA×ABsin∠PAB=
同理可得：S_△PBC=S_△PCD=S_△PAD=
∴該四棱錐的側面積為S=×4=
（2）設O為AC、BD的交點，即為底面菱形ABCD的中心，連接OE
∵△PAC中，O、E分別為AC、PC的中點
∴OE∥PA
∵OE?平面EBD，PA?平面EBD
∴PA∥面EBD．
分析：（1）根據三視圖分析，可得該四棱錐是底面由兩個全等正三角形拼成的菱形，頂點P在底面的射影是菱形的中心O，由此不難得出該四棱錐的直觀圖．利用線面垂直的性質和勾股定理，算出PA=AB=2且PB=，結合正余弦定理可算出△PAB的面積，進而可得該四棱錐的側面積．
（2）連接OE，可得OE是△PAC的中位線，得OE∥PA，由線面平行的判定定理，可得出PA∥面EBD．
點評：本題給出四棱錐的三視圖，求它的直觀圖并求側面積，證明了直線與平面平行，著重考查了線面平行的判定定理、三視圖的理解和利用正余弦定理求三角表面積等知識，屬于中檔題．