Question

設函數f（x）=|x-4|+|x-a|，則f（x）的最小值為3，則求a的值．

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目由含參量的函數f（x）=|x-4|+|x-a|的最小值3，求a的值．因為函數含有絕對值，即可考慮到分類討論去掉絕對值號，分別討論當a=4時，當a＞4時，當a＜4的情況，求出函數的最小值為a-4，然后使其等于3即a-4=3，解可得到答案．
解答：解：（1）當a=4時，f（x）=2|x-4|，則f（x）的最小值為0，不成立．
（2）當a＞4時：下面分類討論x的值．
設f（x）=|x-4|+|x-a|
當x＜4時，f（x）=-（x-4）-（x-a）=-2x+（a+4），故此時f（x）=2x+（a+4）＞a-4．
當x＞a，f（x）=（x-4）+（x-a）=2x-（a+4），故此時f（x）=2x-（a+4）＞a-4．
當4≤x≤a，f（x）=（x-4）-（x-a）=a-4，故此時有-f（x）=a-4
綜上所述f（x）=|x-4|+|x-a|的最小值為a-4，
故由已知得到a-4=3．即a=7．
同理可解（3）當a＜4時候，a=1．
故答案為1和7．
點評：此題主要考查含絕對值的函數最小值問題的求法，對于含有兩個絕對值號的函數，需要分類討論去絕對值號，才能求出最小值．