Question

【題目】設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2+x）=f（2﹣x），當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（ ）x﹣1，若在區間（﹣2，6）內關于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4個不同的實數根，則實數a（a＞0，a≠1）的取值范圍是（ ）
A.（ ，1）
B.（1，4）
C.（1，8）
D.（8，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：對于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），

∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），

∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4．

又∵當x∈[﹣2，0]時，f（x）=（ ）x﹣1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，

若在區間（﹣2，6）內關于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4個不同的實數解，

則函數y=f（x）與y=log a（x+2），在區間（﹣2，6）上有四個不同的交點，如下圖所示：

又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，

則對于函數y=log a（x+2），根據題意可得，當x=6時的函數值小于1，

即log a8＜1，

由此計算得出：a＞8，

∴a的范圍是（8，+∞），

所以答案是：D．