Question

已知圓O：x²+y²=1，點O為坐標原點，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）設b=f（k），求f（k）的表達式，并注明k的取值范圍；
（Ⅱ）若，求直線l的方程；
（Ⅲ）若=m（），求△OAB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知（b＞0），由此可知．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，再由根的判別式和根與系數的關系可以求出直線l的方程．
（Ⅲ）由題設知，所以，再由弦長公式，求出|AB|的長，用點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，由此可以導出△OAB面積S的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，則，
即b²=k²+1，k≠0，所以（b＞0）
∴（3分）

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴（5分）
從而，∴k=±1
∴=（7分）
∴直線l的方程為：．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，又
∴⇒（10分）
由弦長公式，得
又點O到直線AB的距離
∴（12分）
∴（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的性質和綜合應用，解題時要注意弦長公式、點到直線的距離公式的靈活運用．