Question

設z是復數，以下命題中錯誤的是（ ）
A．z為實數的充分必要條件是
B．z為實數的充分必要條件是z²≥0
C．z為純虛數的充分必要條件是
D．z為純虛數的充分必要條件是z²＜0

Answer 1

【答案】分析：對各選項分別加以判斷：由共軛復數的定義以及復數的代數形式，可得A選項是正確的，C選項是錯誤的；根據實數的平方是一個非負數的性質，可得B選項是正確的；根據實數的平方是一個非負數，并且當且僅當這個數是零時平方才為零，可得D也是正確的．
解答：解：對于A：設z=a+bi，（a、b為實數）為實數的充分必要條件是b=0，而b=0時，
z=a=，所以等價于，說明A不錯．
對于B：根據實數的平方非負的性質可得，z²≥0則z為實數，反之也成立，說明B不錯
對于C：z設z=a+bi，（a、b為實數），則z為純虛數的定義是a=0且b≠0
說明，z=bi，成立，但是反過來若，有可能z=，不能使z為純虛數
所以C是錯誤的；
對于D：純虛數的一般形式是z=bi（b為非零的實數），
說明若z是純虛數，則z²=（bi）²=-b²＜0，說明充分性成立，
反之，若復數z滿足z²＜0，一方面說明z²是實數，另一方面說明z是虛數，說明z必定是純虛數，所以D也不錯
故選C
點評：本題以復數的概念為例，考查了充分條件與必要條件的判斷是，屬于基礎題．準確運用復數的代數形式結合實數的有關性質加以判別，是解決本小題的關鍵．