Question

設z是復數，以下命題中錯誤的是（　�。�

A．z為實數的充分必要條件是z- . z =0

B．z為實數的充分必要條件是z2≥0

C．z為純虛數的充分必要條件是z+ . z =0

D．z為純虛數的充分必要條件是z2＜0

Answer 1

對于A：設z=a+bi，（a、b為實數）為實數的充分必要條件是b=0，而b=0時，
z=a=

.

z

，所以等價于z-

.

z

=0，說明A不錯．
對于B：根據實數的平方非負的性質可得，z²≥0則z為實數，反之也成立，說明B不錯
對于C：z設z=a+bi，（a、b為實數），則z為純虛數的定義是a=0且b≠0
說明

.

z

=-bi，z=bi，z+

.

z

=0成立，但是反過來若z+

.

z

=0，有可能z=

.

z

=0，不能使z為純虛數
所以C是錯誤的；
對于D：純虛數的一般形式是z=bi（b為非零的實數），
說明若z是純虛數，則z²=（bi）²=-b²＜0，說明充分性成立，
反之，若復數z滿足z²＜0，一方面說明z²是實數，另一方面說明z是虛數，說明z必定是純虛數，所以D也不錯
故選C