Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+k滿(mǎn)足?x∈R，f（x）≥f（0）且y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0．
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=ax²+bx+k滿(mǎn)足f（x）≥f（0），可得a＞0且b=0，根據(jù)f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于x+2y+1=0，可得f′（1）=2，從而可求a，b的值；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為x²+k=2x-|x²-1|，即k=2x-|x²-1|-x²有實(shí)數(shù)解，進(jìn)一步可等價(jià)于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+k滿(mǎn)足f（x）≥f（0），∴a＞0且b=0，
又f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線垂直于x+2y+1=0，
∴f′（1）=2，即2a+b=2，
∴a=1，∴f（x）=x²+k；
（2）f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為x²+k=2x-|x²-1|，
即k=2x-|x²-1|-x²有實(shí)數(shù)解．
當(dāng)x²-1≥0，即x≥1或x≤-1時(shí)，|x²-1|=x²-1，
當(dāng)x²-1＜0，0即-1＜x＜1時(shí)，|x²-1|=-x²+1，
∴原問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域．
x≥1或x≤-1時(shí)，2x-2x²+1=-2(x-

1

2

)2+

3

2

≤1；
-1＜x＜1時(shí)，-3＜2x-1＜1，
∴k≤1．
∴方程f（x）=2x-|f（x）-f（1）|有實(shí)數(shù)解時(shí)，k的取值范圍是k≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，將問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)k=

2x-2x2+1，x≤-1或x≥1 2x-1，-1＜x＜1

的值域是關(guān)鍵．