Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若B=

π

4

，且A為鈍角，求內(nèi)角A與C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡(jiǎn)整理求得sinC=-cosA．進(jìn)而求得C和A的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得b的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求得cosB的范圍，進(jìn)而求得sinB的大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因?yàn)锳為鈍角，所以sinC=-cosA．
由cosA=cos(π-

π

4

-C)，可得sinC=sin(

π

4

-C)，得C=

π

8

，A=

5π

8

．
（Ⅱ）由余弦定理及條件b2=

1

2

(a2+c2)，有cosB=

a2+c2-b2

4ac

，
因a²+c²≥2ac，
所以cosB≥

1

2

．
故sinB≤

3

2

，
當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立．從而，sinB的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．考查了三角函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識(shí)的結(jié)合．